等价无穷小

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线性代数高等数学三角函数与反三角函数函数导数 微分微分方程放缩易错易错牢记极限例题函数极限函数极限的定义函数极限的运算法则等价无穷小重要极限及其推论性质与定理数列与函数极限对比极限的不等式性质极限的求法直角坐标、极坐标、参数方程积分空间解析几何需要牢记的公式个人介绍等价无穷小Kamimika...小于 1 分钟学习笔记此页内容定义k阶无穷小常见的等价无穷小替换等价无穷小定义设 lim⁡x→Δf(x)=lim⁡x→Δg(x)=0,lim⁡x→Δf(x)g(x)=l\lim_{x \to \Delta} f(x) = \lim_{x \to \Delta} g(x) = 0, \lim_{x \to \Delta} \dfrac{f(x)}{g(x)} = llimx→Δ​f(x)=limx→Δ​g(x)=0,limx→Δ​g(x)f(x)​=l,

若 l=0l = 0l=0, 则 f(x)f(x)f(x) 是 g(x)g(x)g(x) 的高阶无穷小, 记作 f(x)=o(g(x))(x→Δ)f(x) = o(g(x)) (x \to \Delta)f(x)=o(g(x))(x→Δ);若 l≠0l \neq 0l=0, 则 f(x)f(x)f(x) 是 g(x)g(x)g(x) 的同阶无穷小, 记作 f(x)=O(g(x))(x→Δ)f(x) = O(g(x)) (x \to \Delta)f(x)=O(g(x))(x→Δ); 若 l=1l = 1l=1, 则 f(x)f(x)f(x) 是 g(x)g(x)g(x) 的等价无穷小, 记作 f(x)∼g(x)(x→Δ)f(x) \sim g(x) (x \to \Delta)f(x)∼g(x)(x→Δ);k阶无穷小若 lim⁡x→x0α(x)=0\lim_{x \to x_0} \alpha(x) = 0limx→x0​​α(x)=0, 且 ∃c≠0,k>0\exists c \neq 0, k > 0∃c=0,k>0, 使 lim⁡x→x0α(x)(x−x0)k=c\lim_{x \to x_0} \dfrac{\alpha(x)}{(x-x_0)^k} = climx→x0​​(x−x0​)kα(x)​=c, 则当 x→x0x \to x_0x→x0​ 时, α(x)\alpha(x)α(x) 是k阶无穷小, c(x−x0)kc(x - x_0)^kc(x−x0​)k 为 α(x)\alpha(x)α(x) 的主部 (α(x)=c(x−x0)k+o((x−x0)k)\alpha(x) = c(x - x_0)^k + o((x - x_0)^k)α(x)=c(x−x0​)k+o((x−x0​)k))

警告

注意: α(x)\alpha(x)α(x) 是k阶无穷小, 而不是 c阶无穷小

常见的等价无穷小替换常见的等价无穷小.jpg警告

注意：

加减法不能用等价无穷小替换替换必须保证前后都是无穷小(错误示范: ex∼x+1e^x \sim x + 1ex∼x+1)上次编辑于: 贡献者: wzh656上一页函数极限的运算法则下一页重要极限及其推论昵称邮箱网址预览:0 字登录提交 评论按正序按倒序按热度 Powered by Waline v3.8.0Copyright © 2025 Kamimika